2-2

We will need these general resources:

(Subscript[σ, 0])=(({{1, 0}, {0, 1}}));
(Subscript[σ, 1])=(({{0, 1}, {1, 0}}));
(Subscript[σ, 2])=(({{0, -I}, {I, 0}}));
(Subscript[σ, 3])=(({{1, 0}, {0, -1}}));
𝕀=(({{1, 0}, {0, 1}}));
(Subscript[𝕆, 8])=(({{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}}));
(Subscript[𝕀, 8])=(({{1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1}}));
Comm[x_,y_]:=x.y-y.x
AntiComm[x_,y_]:=x.y+y.x

P_⊗Q_:=Flatten[Table[Flatten[Table[Part[Outer[Times,P,Q],i,j,k],{j,Dimensions[P][[2]]}]],{i,Dimensions[P][[1]]},{k,Dimensions[Q][[1]]}],1]

Mermin on GHZ

Nicholas Wheeler
Reed College Physics
March 2008

Introduction

My objective here will be to gain a clear understanding of N. David Mermin's brief account ("What's wrong with these elements of reality?" Physics Today, page 9 (June 1990)) of a celebrated paper by Daniel Greenberger, Michael Horn, Abner Shimony & Anton Zeilinger, which at the time was still unpublished, except for the version "Going beyond Bell's theorem" that appeared in some obscure conference proceedings  Bell's Theorem, Quantum Theory and Conceptions of the Universe that were published in 1989.  The GHZ work was finally made available as  "Bell's theorem without inequalities," which appeared in the December issue of AJP (58, 1131-1143 (1990)). Mermin was working from a preprint by "three philosophers (all philosophers of science at Cambridge)": R. K. Clifton, M. L. G. Redhead & J. M. Butterfield, "Generalization of the Greengerber-Horn-Zeilinger algebraic proof of nonlocality" (submitted to Foundations of Physics). The latter paper ( 21, 149-184 (1991)) is long, and written in a formal language that most physicists are likely to find off-putting (it is certainly not my cup of tea!). It was heroic of Mermin to read the thing in close enough detail that he could attempt a simplification.

Bohm, in his influential account of the EPR paradox (Quantum Theory (1951),  pages 614-623), looked to composite systems assembled from a pair of spin-one-half particles. GHZ look to composite systems assembled from (at least) three such particles. Abstractly, we will be talking about composite systems assembled from three 2-state systems: it is from convenient habit that we adopt the language of spin . . . though GHZ were concerned with the possibility of testing their work in the laboratory, and very likely had literal spin (or its optical analog) in mind as they wrote.

Construction of Mermin's observables

Assume we have set up our conventions in such a way that measurement of the x-component of the spin of an isolated particle is represented by the traceless hermitian matrix (Subscript[σ, 1]). If the particle is one of a trio of particles we write

(Subscript[𝕏, 1])=(Subscript[σ, 1])⊗(𝕀⊗𝕀);
(Subscript[𝕏, 2])=𝕀⊗((Subscript[σ, 1])⊗𝕀);
(Subscript[𝕏, 3])=𝕀⊗(𝕀⊗(Subscript[σ, 1]));

depending upon which of the (distinguishable) particles—#1 or #2 or #3— we propose to examine. Similarly

(Subscript[𝕐, 1])=(Subscript[σ, 2])⊗(𝕀⊗𝕀);
(Subscript[𝕐, 2])=𝕀⊗((Subscript[σ, 2])⊗𝕀);
(Subscript[𝕐, 3])=𝕀⊗(𝕀⊗(Subscript[σ, 2]));

if it is the y-component of spin that we propose to measure.

The properties of those and such other observables as we will have occasion to encounter all devolve from properties of (Subscript[σ, 1]) and (Subscript[σ, 2]) ((Subscript[σ, 3]) plays no role in this discussion), which I take a moment to develop:

Properties of (Subscript[σ, 1 ]) and (Subscript[σ, 2])

For an isolated particle it follows from

Eigensystem[(Subscript[σ, 1])]

that a (Subscript[σ, 1])-meter either announces +1—signaling that it has prepared the state

(Subscript[u, 1])=(1/(Sqrt[2]))(({{1}, {1}}))

or it reads -1 and prepares the state

(Subscript[d, 1])=(1/(Sqrt[2]))(({{1}, {-1}}))

Similarly, we are led from

Eigensystem[(Subscript[σ, 2])]

to the construction of

(Subscript[u, 2])=(1/(Sqrt[2]))(({{-I}, {1}}))
(Subscript[d, 2])=(1/(Sqrt[2]))(({{I}, {1}}))

We check our progress:

(Subscript[σ, 1]).(Subscript[u, 1])==+(Subscript[u, 1])
(Subscript[σ, 1]).(Subscript[d, 1])==-(Subscript[d, 1])

(Subscript[σ, 2]).(Subscript[u, 2])==+(Subscript[u, 2])
(Subscript[σ, 2]).(Subscript[d, 2])==-(Subscript[d, 2])

Generally, to discuss the action of a measureing device represented by the hermitian matrix 𝕄 one must have in had the spectral resolution of the matrix: 𝕄 = (Subscript[λ, 1])(Subscript[ℙ, 1])+(Subscript[λ, 2])(Subscript[ℙ, 2])+⋯+(Subscript[λ, n])(Subscript[ℙ, n]) where the λs are eigenvalues of 𝕄 and the ℙs comprise a complete set of orthogonal projection matrices (they project onto the eigenspaces of 𝕄). We look to the spectral resolutions of (Subscript[σ, 1]) and (Subscript[σ, 2]), from which will be assembled all the other spectral resolutions of interest.

(Subscript[σ, 1up])=(Subscript[u, 1]).Conjugate[Transpose[(Subscript[u, 1])]];
(Subscript[σ, 1dn])=(Subscript[d, 1]).Conjugate[Transpose[(Subscript[d, 1])]];

(Subscript[σ, 2up])=(Subscript[u, 2]).Conjugate[Transpose[(Subscript[u, 2])]];
(Subscript[σ, 2dn])=(Subscript[d, 2]).Conjugate[Transpose[(Subscript[d, 2])]];

(Subscript[σ, 1up])//MatrixForm
(Subscript[σ, 1dn])//MatrixForm
(Subscript[σ, 2up])//MatrixForm
(Subscript[σ, 2dn])//MatrixForm

I demonstrate that { (Subscript[σ, 1up]), (Subscript[σ, 1dn])} comprise a complete

(Subscript[σ, 1up])+(Subscript[σ, 1dn])==(({{1, 0}, {0, 1}}))

set of orthogonal

(Subscript[σ, 1up]).(Subscript[σ, 1dn])==(({{0, 0}, {0, 0}}))

projection matrices

(Subscript[σ, 1up]).(Subscript[σ, 1up])==(Subscript[σ, 1up])
(Subscript[σ, 1dn]).(Subscript[σ, 1dn])==(Subscript[σ, 1dn])

and that they project onto 1-spaces:

Eigenvalues[(Subscript[σ, 1up])]
Eigenvalues[(Subscript[σ, 1dn])]

and provide the spectral resolution

(Subscript[σ, 1])==(Subscript[σ, 1up])-(Subscript[σ, 1dn])

Ditto for { (Subscript[σ, 2up]), (Subscript[σ, 2dn])}: we come away with the statement

(Subscript[σ, 2])==(Subscript[σ, 2up])-(Subscript[σ, 2dn])

Properties of the 𝕏 and 𝕐 matrices

From

Eigenvalues[(Subscript[𝕏, 1])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕏, 2])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕏, 3])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕐, 1])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕐, 2])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕐, 3])]

we see that those meters also read ±1 (up, dn), but that such meter readings provide imperfect information about the state that was prepared by the (projective) measuring process. From

(Subscript[𝕏, 1])=((Subscript[σ, 1up])-(Subscript[σ, 1dn]))⊗𝕀⊗𝕀

and similar equations we are led to construct

(Subscript[𝕏, 1up])=(Subscript[σ, 1up])⊗(𝕀⊗𝕀);
(Subscript[𝕏, 1dn])=(Subscript[σ, 1dn])⊗(𝕀⊗𝕀);

(Subscript[𝕏, 2up])=𝕀⊗((Subscript[σ, 1up])⊗𝕀);
(Subscript[𝕏, 2dn])=𝕀⊗((Subscript[σ, 1dn])⊗𝕀);

(Subscript[𝕏, 3up])=𝕀⊗(𝕀⊗(Subscript[σ, 1up]));
(Subscript[𝕏, 3dn])=𝕀⊗(𝕀⊗(Subscript[σ, 1dn]));

(Subscript[𝕐, 1up])=(Subscript[σ, 2up])⊗(𝕀⊗𝕀);
(Subscript[𝕐, 1dn])=(Subscript[σ, 2dn])⊗(𝕀⊗𝕀);

(Subscript[𝕐, 2up])=𝕀⊗((Subscript[σ, 2up])⊗𝕀);
(Subscript[𝕐, 2dn])=𝕀⊗((Subscript[σ, 2dn])⊗𝕀);

(Subscript[𝕐, 3up])=𝕀⊗(𝕀⊗(Subscript[σ, 2up]));
(Subscript[𝕐, 3dn])=𝕀⊗(𝕀⊗(Subscript[σ, 2dn]));

The matrices {(Subscript[𝕏, 1up]), (Subscript[𝕏, 1dn])} comprise a complete set of orthogonal projection operators, and provide the spectral resolution of (Subscript[𝕏, 1])

(Subscript[𝕏, 1up])+(Subscript[𝕏, 1dn])==(Subscript[𝕀, 8])
(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕏, 1dn])==(Subscript[𝕆, 8])
(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕏, 1up])==(Subscript[𝕏, 1up])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕏, 1dn])==(Subscript[𝕏, 1dn])
(Subscript[𝕏, 1])==(Subscript[𝕏, 1up])-(Subscript[𝕏, 1dn])

and we have altogether 6 sets of such statements. From

Eigenvalues[(Subscript[𝕏, 1up])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕏, 1dn])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕏, 2up])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕏, 2dn])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕏, 3up])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕏, 3dn])]

Eigenvalues[(Subscript[𝕐, 1up])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕐, 1dn])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕐, 2up])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕐, 2dn])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕐, 3up])]
Eigenvalues[(Subscript[𝕐, 3dn])]

we see that each of the 12 projectors {(Subscript[𝕏, 1up]) , . . . ,  (Subscript[𝕐, 3dn])} projects onto a 4-dimensional subspace of 8-space.

From their defining constructions and this general property of the Kronecker product

(𝔸⊗𝔹⊗ℂ).(𝔻⊗𝔼⊗𝔽)=𝔸.𝔻⊗𝔹.𝔼⊗ℂ.𝔽

it follows by

Comm[(Subscript[σ, 1]),(Subscript[σ, 2])]==(({{0, 0}, {0, 0}}))
AntiComm[(Subscript[σ, 1]),(Subscript[σ, 2])]==(({{0, 0}, {0, 0}}))

it follows that each of the observables { (Subscript[𝕏, 1]), (Subscript[𝕏, 2]), (Subscript[𝕏, 3]), (Subscript[𝕐, 1]), (Subscript[𝕐, 2]), (Subscript[𝕐, 3])} commutes with each of the others, except that it fails to commute with its "mate,"

Comm[(Subscript[𝕏, 1]),(Subscript[𝕏, 2])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝕏, 2]),(Subscript[𝕏, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝕏, 3]),(Subscript[𝕏, 1])]==(Subscript[𝕆, 8])

Comm[(Subscript[𝕐, 1]),(Subscript[𝕐, 2])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝕐, 2]),(Subscript[𝕐, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝕐, 3]),(Subscript[𝕐, 1])]==(Subscript[𝕆, 8])


Comm[(Subscript[𝕏, 1]),(Subscript[𝕐, 2])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝕏, 1]),(Subscript[𝕐, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝕏, 2]),(Subscript[𝕐, 1])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝕏, 2]),(Subscript[𝕐, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝕏, 3]),(Subscript[𝕐, 1])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝕏, 3]),(Subscript[𝕐, 2])]==(Subscript[𝕆, 8])

Comm[(Subscript[𝕏, 1]),(Subscript[𝕐, 1])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝕏, 2]),(Subscript[𝕐, 2])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝕏, 3]),(Subscript[𝕐, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])

with which it anticommutes:

AntiComm[(Subscript[𝕏, 1]),(Subscript[𝕐, 1])]==(Subscript[𝕆, 8])
AntiComm[(Subscript[𝕏, 2]),(Subscript[𝕐, 2])]==(Subscript[𝕆, 8])
AntiComm[(Subscript[𝕏, 3]),(Subscript[𝕐, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])

Mermin's second generation of observables

The six observables  { (Subscript[𝕏, 1]), (Subscript[𝕏, 2]), (Subscript[𝕏, 3]), (Subscript[𝕐, 1]), (Subscript[𝕐, 2]), (Subscript[𝕐, 3])} can be assembled into a total of eight cubic products:

𝕌=(Subscript[𝕐, 1]).(Subscript[𝕐, 2]).(Subscript[𝕐, 3]);
(Subscript[𝔸, 1])=(Subscript[𝕏, 1]).(Subscript[𝕐, 2]).(Subscript[𝕐, 3]);
(Subscript[𝔸, 2])=(Subscript[𝕐, 1]).(Subscript[𝕏, 2]).(Subscript[𝕐, 3]);
(Subscript[𝔸, 3])=(Subscript[𝕐, 1]).(Subscript[𝕐, 2]).(Subscript[𝕏, 3]);
(Subscript[𝔹, 1])=(Subscript[𝕐, 1]).(Subscript[𝕏, 2]).(Subscript[𝕏, 3]);
(Subscript[𝔹, 2])=(Subscript[𝕏, 1]).(Subscript[𝕐, 2]).(Subscript[𝕏, 3]);
(Subscript[𝔹, 3])=(Subscript[𝕏, 1]).(Subscript[𝕏, 2]).(Subscript[𝕐, 3]);
𝕍=(Subscript[𝕏, 1]).(Subscript[𝕏, 2]).(Subscript[𝕏, 3]);

Looking to the commutators

Comm[𝕌,(Subscript[𝔸, 1])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[𝕌,(Subscript[𝔹, 1])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[𝕌,𝕍]==(Subscript[𝕆, 8])

Comm[(Subscript[𝔸, 1]),(Subscript[𝔸, 2])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 1]),(Subscript[𝔸, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 2]),(Subscript[𝔸, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 1]),(Subscript[𝔹, 1])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 1]),(Subscript[𝔹, 2])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 1]),(Subscript[𝔹, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 2]),(Subscript[𝔹, 1])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 2]),(Subscript[𝔹, 2])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 2]),(Subscript[𝔹, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 3]),(Subscript[𝔹, 1])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 3]),(Subscript[𝔹, 2])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 3]),(Subscript[𝔹, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 1]),𝕍]==(Subscript[𝕆, 8])

Comm[(Subscript[𝔹, 1]),(Subscript[𝔹, 2])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔹, 1]),(Subscript[𝔹, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔹, 2]),(Subscript[𝔹, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔹, 1]),𝕍]==(Subscript[𝕆, 8])

we conclude that two such matrices commute or fail to commute according as they present an even or odd number of opposing mates. We notice the existence of these two commuting sets:

{(Subscript[𝔸, 1]),(Subscript[𝔸, 2]),(Subscript[𝔸, 3]),𝕍}
{(Subscript[𝔹, 1]),(Subscript[𝔹, 2]),(Subscript[𝔹, 3]),𝕌}

With Mermin, we elect to work with the former. Which in view of

(Subscript[𝔸, 1]).(Subscript[𝔸, 2]).(Subscript[𝔸, 3])==-𝕍

consists essentially of the triple: {(Subscript[𝔸, 1]),(Subscript[𝔸, 2]),(Subscript[𝔸, 3])}. We look to the spectral resolutions of those matrices:

Expanding the expression on the right side of  (Subscript[𝔸, 1])=(Subscript[𝕏, 1]).(Subscript[𝕐, 2]).(Subscript[𝕐, 3])=((Subscript[𝕏, 1up])-(Subscript[𝕏, 1dn])).((Subscript[𝕐, 2up])-(Subscript[𝕐, 2dn])).((Subscript[𝕐, 3up])-(Subscript[𝕐, 3dn]))we are led to the construction

(Subscript[𝔸, 1up])=(((Subscript[𝕏, 1up])).((Subscript[𝕐, 2up])).((Subscript[𝕐, 3up]))+((Subscript[𝕏, 1up])).(-(Subscript[𝕐, 2dn])).(-(Subscript[𝕐, 3dn]))-((Subscript[𝕏, 1dn])).((Subscript[𝕐, 2up])).(-(Subscript[𝕐, 3dn]))-((Subscript[𝕏, 1dn])).(-(Subscript[𝕐, 2dn])).((Subscript[𝕐, 3up])));
(Subscript[𝔸, 1dn])=
-(((Subscript[𝕏, 1up])).((Subscript[𝕐, 2up])).(-(Subscript[𝕐, 3dn]))+((Subscript[𝕏, 1up])).(-(Subscript[𝕐, 2dn])).((Subscript[𝕐, 3up]))-((Subscript[𝕏, 1dn])).((Subscript[𝕐, 2up])).((Subscript[𝕐, 3up]))-((Subscript[𝕏, 1dn])).(-(Subscript[𝕐, 2dn])).(-(Subscript[𝕐, 3dn])));

of a complete set of orthogonal projection operators that accomplish the resolution of (Subscript[𝔸, 1]):

(Subscript[𝔸, 1up])+(Subscript[𝔸, 1dn])==(Subscript[𝕀, 8])
(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 1dn])==(Subscript[𝕆, 8])
(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 1up])==(Subscript[𝔸, 1up])
(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 1dn])==(Subscript[𝔸, 1dn])

(Subscript[𝔸, 1])==(Subscript[𝔸, 1up])-(Subscript[𝔸, 1dn])

We are led similarly to

(Subscript[𝔸, 2up])=(((Subscript[𝕏, 2up])).((Subscript[𝕐, 1up])).((Subscript[𝕐, 3up]))+((Subscript[𝕏, 2up])).(-(Subscript[𝕐, 1dn])).(-(Subscript[𝕐, 3dn]))-((Subscript[𝕏, 2dn])).((Subscript[𝕐, 1up])).(-(Subscript[𝕐, 3dn]))-((Subscript[𝕏, 2dn])).(-(Subscript[𝕐, 1dn])).((Subscript[𝕐, 3up])));
(Subscript[𝔸, 2dn])=
-(((Subscript[𝕏, 2up])).((Subscript[𝕐, 1up])).(-(Subscript[𝕐, 3dn]))+((Subscript[𝕏, 2up])).(-(Subscript[𝕐, 1dn])).((Subscript[𝕐, 3up]))-((Subscript[𝕏, 2dn])).((Subscript[𝕐, 1up])).((Subscript[𝕐, 3up]))-((Subscript[𝕏, 2dn])).(-(Subscript[𝕐, 1dn])).(-(Subscript[𝕐, 3dn])));

giving

(Subscript[𝔸, 2up])+(Subscript[𝔸, 2dn])==(Subscript[𝕀, 8])
(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 2dn])==(Subscript[𝕆, 8])
(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 2up])==(Subscript[𝔸, 2up])
(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 2dn])==(Subscript[𝔸, 2dn])

(Subscript[𝔸, 2])==(Subscript[𝔸, 2up])-(Subscript[𝔸, 2dn])

and to

(Subscript[𝔸, 3up])=(((Subscript[𝕏, 3up])).((Subscript[𝕐, 2up])).((Subscript[𝕐, 1up]))+((Subscript[𝕏, 3up])).(-(Subscript[𝕐, 2dn])).(-(Subscript[𝕐, 1dn]))-((Subscript[𝕏, 3dn])).((Subscript[𝕐, 2up])).(-(Subscript[𝕐, 1dn]))-((Subscript[𝕏, 3dn])).(-(Subscript[𝕐, 2dn])).((Subscript[𝕐, 1up])));
(Subscript[𝔸, 3dn])=
-(((Subscript[𝕏, 3up])).((Subscript[𝕐, 2up])).(-(Subscript[𝕐, 1dn]))+((Subscript[𝕏, 3up])).(-(Subscript[𝕐, 2dn])).((Subscript[𝕐, 1up]))-((Subscript[𝕏, 3dn])).((Subscript[𝕐, 2up])).((Subscript[𝕐, 1up]))-((Subscript[𝕏, 3dn])).(-(Subscript[𝕐, 2dn])).(-(Subscript[𝕐, 1dn])));

giving

(Subscript[𝔸, 3up])+(Subscript[𝔸, 3dn])==(Subscript[𝕀, 8])
(Subscript[𝔸, 3up]).(Subscript[𝔸, 3dn])==(Subscript[𝕆, 8])
(Subscript[𝔸, 3up]).(Subscript[𝔸, 3up])==(Subscript[𝔸, 3up])
(Subscript[𝔸, 3dn]).(Subscript[𝔸, 3dn])==(Subscript[𝔸, 3dn])

(Subscript[𝔸, 2])==(Subscript[𝔸, 2up])-(Subscript[𝔸, 2dn])

Each of the 𝔸-matrices has a degenerate spectrum

Eigenvalues[(Subscript[𝔸, 1])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, 2])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, 3])]

but since they commute they can be used collaboratively to resolve each other's degeneracy. The effect of using them collaboratively is described by the matrix

𝕎=(Subscript[𝔸, 1]).(Subscript[𝔸, 2]).(Subscript[𝔸, 3]);

which when developed

𝕎==((Subscript[𝔸, 1up])-(Subscript[𝔸, 1dn])).((Subscript[𝔸, 2up])-(Subscript[𝔸, 2dn])).((Subscript[𝔸, 3up])-(Subscript[𝔸, 3dn]))

yields

𝕎==(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3up])+(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3up])+(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3dn])+(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3dn])-(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3dn])-(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3dn])-(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3up])-(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3up])

The matrices on the right comprise a complete set

(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3up])+(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3up])+(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3dn])+(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3dn])+(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3dn])+(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3dn])+(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3up])+(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3up])==(Subscript[𝕀, 8])

or orthogonal projection matrices. Each projects onto a 1-space (a ray in 8-space):

Eigenvalues[(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3up])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3up])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3dn])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3dn])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3dn])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3dn])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3up])]
Eigenvalues[(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3up])]

Looking to

(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3up]).(({{(Subscript[ψ, 1])}, {(Subscript[ψ, 2])}, {(Subscript[ψ, 3])}, {(Subscript[ψ, 4])}, {(Subscript[ψ, 5])}, {(Subscript[ψ, 6])}, {(Subscript[ψ, 7])}, {(Subscript[ψ, 8])}}))

we see that (Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3up]) projects onto the ray defined by the unit vector

Ψ={{(1/(Sqrt[2]))},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{-(1/(Sqrt[2]))}};

and notice (with Mermin) that this vector can be described

Ψ==(((({{1}, {0}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{1}, {0}})))-(({{0}, {1}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{0}, {1}}))))/(Sqrt[2]))

(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3up]).(((({{0}, {1}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{1}, {0}})))-(({{1}, {0}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{0}, {1}}))))/(Sqrt[2]))==(((({{0}, {1}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{1}, {0}})))-(({{1}, {0}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{0}, {1}}))))/(Sqrt[2]))

(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3dn]).(((({{0}, {1}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{0}, {1}})))-(({{1}, {0}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{1}, {0}}))))/(Sqrt[2]))==(((({{0}, {1}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{0}, {1}})))-(({{1}, {0}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{1}, {0}}))))/(Sqrt[2]))

(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3dn]).(((({{1}, {0}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{0}, {1}})))-(({{0}, {1}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{1}, {0}}))))/(Sqrt[2]))==(((({{1}, {0}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{0}, {1}})))-(({{0}, {1}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{1}, {0}}))))/(Sqrt[2]))

(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3dn]).(((({{0}, {1}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{0}, {1}})))+(({{1}, {0}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{1}, {0}}))))/(Sqrt[2]))==(((({{0}, {1}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{0}, {1}})))+(({{1}, {0}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{1}, {0}}))))/(Sqrt[2]))

(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3dn]).(((({{1}, {0}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{0}, {1}})))+(({{0}, {1}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{1}, {0}}))))/(Sqrt[2]))==(((({{1}, {0}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{0}, {1}})))+(({{0}, {1}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{1}, {0}}))))/(Sqrt[2]))

(Subscript[𝔸, 1up]).(Subscript[𝔸, 2dn]).(Subscript[𝔸, 3up]).(((({{1}, {0}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{1}, {0}})))+(({{0}, {1}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{0}, {1}}))))/(Sqrt[2]))==(((({{1}, {0}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{1}, {0}})))+(({{0}, {1}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{0}, {1}}))))/(Sqrt[2]))

(Subscript[𝔸, 1dn]).(Subscript[𝔸, 2up]).(Subscript[𝔸, 3up]).(((({{0}, {1}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{1}, {0}})))+(({{1}, {0}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{0}, {1}}))))/(Sqrt[2]))==(((({{0}, {1}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{1}, {0}})))+(({{1}, {0}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{0}, {1}}))))/(Sqrt[2]))

What this means is that when the compound meter 𝕎 reads (for example)

{-++}

it is announcing that it has prepared the state(((({{0}, {1}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{1}, {0}})))+(({{1}, {0}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{0}, {1}}))))/(Sqrt[2])), which happens to be an entangled state, a "generalized Bell state" from the look of it.

How the argument runs

Raw states (({{(Subscript[ψ, 1])}, {(Subscript[ψ, 2])}, {(Subscript[ψ, 3])}, {(Subscript[ψ, 4])}, {(Subscript[ψ, 5])}, {(Subscript[ψ, 6])}, {(Subscript[ψ, 7])}, {(Subscript[ψ, 8])}}))are presented to the 𝕎-meter, and its output is disposed of except in cases when—if we are to follow in Mermin's precise footsteps—the meter reads {+ + +}, signaling that the 3-particle system is in the entangled state

Ψ=(((({{1}, {0}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{1}, {0}})))-(({{0}, {1}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{0}, {1}}))))/(Sqrt[2]))

The (Subscript[𝕐, 3]) meter looks to the 3rd particle, either announces up (i.e., reads +1) and places the system in the state got by normalizing

(Subscript[𝕐, 3up]).Ψ

else announces dn and places the system in the state got by normalizing

(Subscript[𝕐, 3dn]).Ψ

REMARK: I henceforth omit references to the need—after every projection—to normalize, since it plays no role in the argument.

After the (Subscript[𝕐, 2]) meter had done its work we find the system to be in one or another of these states:

(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).Ψ           :         CASE {+1,+1}
(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).Ψ           :         CASE {+1,-1}
(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).Ψ           :         CASE {-1,+1}
(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).Ψ           :         CASE {-1,-1}

Finally, we bring the (Subscript[𝕏, 1]) meter into play, with what we might expect to be any of 8 possible results. But we find

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).Ψ
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).Ψ

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).Ψ
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).Ψ

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).Ψ
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).Ψ

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).Ψ
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).Ψ

that in each case one of the conceivable possibilities is foreclosed. The response of the (Subscript[𝕏, 1])meter is pre-determined by the past responses of the other two meters. The  (Subscript[𝕏, 1])meter is in every instance being fed a state that lies in one or the other of its two 4-dimensional eigenspaces. The only possible outcomes are

{+1, +1, +1}
{+1, -1, -1}
{-1, +1, -1}
{-1, -1, +1}

and the product of the meter readings is in every case positive.

Is this result dependent upon the fact that Mermin arranged for the input state to be one instead of another of the eigenvectors of 𝕎?

(Subscript[Ψ, 1])=(((({{1}, {0}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{1}, {0}})))-(({{0}, {1}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{0}, {1}}))))/(Sqrt[2]));
(Subscript[Ψ, 2])=(((({{0}, {1}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{1}, {0}})))-(({{1}, {0}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{0}, {1}}))))/(Sqrt[2]));
(Subscript[Ψ, 3])=(((({{0}, {1}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{0}, {1}})))-(({{1}, {0}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{1}, {0}}))))/(Sqrt[2]));
(Subscript[Ψ, 4])=(((({{1}, {0}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{0}, {1}})))-(({{0}, {1}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{1}, {0}}))))/(Sqrt[2]));
(Subscript[Ψ, 5])=(((({{0}, {1}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{0}, {1}})))+(({{1}, {0}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{1}, {0}}))))/(Sqrt[2]));
(Subscript[Ψ, 6])=(((({{1}, {0}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{0}, {1}})))+(({{0}, {1}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{1}, {0}}))))/(Sqrt[2]));
(Subscript[Ψ, 7])=(((({{1}, {0}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{1}, {0}})))+(({{0}, {1}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{0}, {1}}))))/(Sqrt[2]));
(Subscript[Ψ, 8])=(((({{0}, {1}}))⊗((({{1}, {0}}))⊗(({{1}, {0}})))+(({{1}, {0}}))⊗((({{0}, {1}}))⊗(({{0}, {1}}))))/(Sqrt[2]));

REMARK: The pattern here in force permits one to construct a total of eight such entangled states:

↑↑↑ ±  reverse
↑↑↓ ±  reverse
↑↓↑ ±  reverse
↑↓↓ ±  reverse

The states (Subscript[Ψ, 1]) through (Subscript[Ψ, 8]) exhaust the possibilities.

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 2])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 2])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 2])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 2])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 2])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 2])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 2])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 2])

𝕎.(Subscript[Ψ, 2])==+(Subscript[Ψ, 2])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 3])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 3])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 3])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 3])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 3])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 3])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 3])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 3])

𝕎.(Subscript[Ψ, 3])==+(Subscript[Ψ, 3])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 4])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 4])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 4])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 4])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 4])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 4])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 4])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 4])

𝕎.(Subscript[Ψ, 4])==+(Subscript[Ψ, 4])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 5])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 5])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 5])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 5])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 5])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 5])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 5])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 5])

𝕎.(Subscript[Ψ, 5])==-(Subscript[Ψ, 5])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 6])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 6])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 6])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 6])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 6])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 6])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 6])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 6])

𝕎.(Subscript[Ψ, 6])==-(Subscript[Ψ, 6])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 7])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 7])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 7])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 7])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 7])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 7])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 7])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 7])

𝕎.(Subscript[Ψ, 7])==-(Subscript[Ψ, 7])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 8])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 8])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 8])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 8])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 8])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3up]).(Subscript[Ψ, 8])

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 8])
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).(Subscript[𝕐, 3dn]).(Subscript[Ψ, 8])

𝕎.(Subscript[Ψ, 8])==-(Subscript[Ψ, 8])

There calculations show that the "last measurement is prefigured" phenomenon persists whichever of the eigenstates of 𝕎 one takes to be the input state. But the detailed pattern of events is a bit intricate: the states (Subscript[Ψ, 1]), (Subscript[Ψ, 2]), (Subscript[Ψ, 3]), (Subscript[Ψ, 4]) all lie in the positive eigenspace of 𝕎

𝕎.Ψ=+Ψ

but in two cases the number of minus ones must be even, while in the other two it must be odd. A similarly split situation arises from each of  (Subscript[Ψ, 5]), (Subscript[Ψ, 6]), (Subscript[Ψ, 7]), (Subscript[Ψ, 8]), all of which satisfy

𝕎.Ψ=-Ψ

Bohm placed Alice and Bob in a situation where Alice's measurement caused the result of Bob's subsequent measurement to be precisely known in advance—evidence of "spooky action at a distance" ("nonlocality") unless "hidden variables" can somehow be brought into play (but EPR provided no clue as to how this might be done). GHZ/Mermin have placed Alice/Amy and Bob a stronger version of the same situation—a situation which invites adoption of the hidden variable hypothesis as a means of avoiding nonlocality, but at the same time establishes that the hidden variable hypothesis is untenable because it leads to a contradiction:

GHZ demonstration that the hidden variable hypothesis leads to a contradiction

I refer to what is sometimes called the "GHZ theorem" (see Amir C. Aczel, Entanglement (2001), page 229. Aczel's Chapter 17, "Triple entanglement," provides a good discussion of the whole GHZ business).

Orthodox quantum mechanical calculation

(Subscript[𝕏, 3up]).((Subscript[𝕐, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).Ψ)
(Subscript[𝕏, 3dn]).((Subscript[𝕐, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).Ψ)

(Subscript[𝕏, 3up]).((Subscript[𝕐, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).Ψ)
(Subscript[𝕏, 3dn]).((Subscript[𝕐, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).Ψ)

(Subscript[𝕏, 3up]).((Subscript[𝕐, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).Ψ)
(Subscript[𝕏, 3dn]).((Subscript[𝕐, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).Ψ)

(Subscript[𝕏, 3up]).((Subscript[𝕐, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).Ψ)
(Subscript[𝕏, 3dn]).((Subscript[𝕐, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).Ψ)

shows that 𝕐-measurements performed on particles #1 and #2—however remote those particles may be, and whatever may be the results of those measurements—permit the result of subsequent 𝕏-measurement on #3 to be known in advance. The validity of this statement is unchanged by permutation of (1, 2, 3). Similarly,

(Subscript[𝕐, 3up]).((Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).Ψ)
(Subscript[𝕐, 3dn]).((Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2up]).Ψ)

(Subscript[𝕐, 3up]).((Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).Ψ)
(Subscript[𝕐, 3dn]).((Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕐, 2dn]).Ψ)

(Subscript[𝕐, 3up]).((Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).Ψ)
(Subscript[𝕐, 3dn]).((Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2up]).Ψ)

(Subscript[𝕐, 3up]).((Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).Ψ)
(Subscript[𝕐, 3dn]).((Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕐, 2dn]).Ψ)

shows that 𝕏-measurement on #1 and 𝕐-measurement on #2—however remote those particles may be, and whatever may be the results of those measurements—permit the result of subsequent 𝕐-measurement on #3 to be known in advance, this however the names #1, #2, and #3 are distributed among the particles.

Adopt the hidden variable hypotheses: assume each particle carries within it an "instruction set { (Subscript[m, x]), (Subscript[m, y]) }" telling it how to respond to 𝕏 else 𝕐-measurement, should it encounter such a meter. To account observed quantum mechanical facts we must assume that the instruction sets

(Subscript[{(Subscript[m, x]),(Subscript[m, y])}, 1])
(Subscript[{(Subscript[m, x]),(Subscript[m, y])}, 2])
(Subscript[{(Subscript[m, x]),(Subscript[m, y])}, 3])

were correlated at birth, and that collectively they convey the information that in orthodox theory is conveyed by the statement that the system was born into state Ψ. We identify the values of (Subscript[m, x]) and (Subscript[m, y]) with the ±1 values of the eigenvalues announced by 𝕏 and 𝕐 meters. Quantum mechanical analysis has established that the requisite relationships among hidden variables are permutationally equivalent to

(Subscript[m, 1x])(Subscript[m, 2y])(Subscript[m, 3y])=+1

In particular, we have

(Subscript[m, 1x])(Subscript[m, 2y])(Subscript[m, 3y])=+1
(Subscript[m, 1y])(Subscript[m, 2x])(Subscript[m, 3y])=+1
(Subscript[m, 1y])(Subscript[m, 2y])(Subscript[m, 3x])=+1

which are equivalent in hidden variable language to the statements

(Subscript[𝔸, 1]).Ψ==+Ψ
(Subscript[𝔸, 2]).Ψ==+Ψ
(Subscript[𝔸, 3]).Ψ==+Ψ

Multiply these equations together, use

((((Subscript[m, x])))^2)=((((Subscript[m, y])))^2)=1

to obtain

(Subscript[m, 1x])(Subscript[m, 2x])(Subscript[m, 3x])=1

The structure of the product on the left motivates us to look again (see the beginning of the section entitled "Merman's second generation of observables") to the observable

𝕍=(Subscript[𝕏, 1]).(Subscript[𝕏, 2]).(Subscript[𝕏, 3]);

As previously remarked, 𝕍 commutes (for reasons I will discuss in a moment)

Comm[𝕍,(Subscript[𝔸, 1])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[𝕍,(Subscript[𝔸, 2])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[𝕍,(Subscript[𝔸, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])

with each of the observables

(Subscript[𝔸, 1])=(Subscript[𝕏, 1]).(Subscript[𝕐, 2]).(Subscript[𝕐, 3]);
(Subscript[𝔸, 2])=(Subscript[𝕐, 1]).(Subscript[𝕏, 2]).(Subscript[𝕐, 3]);
(Subscript[𝔸, 3])=(Subscript[𝕐, 1]).(Subscript[𝕐, 2]).(Subscript[𝕏, 3]);

which themselves comprise a commutative set:

Comm[(Subscript[𝔸, 1]),(Subscript[𝔸, 2])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 1]),(Subscript[𝔸, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])
Comm[(Subscript[𝔸, 2]),(Subscript[𝔸, 3])]==(Subscript[𝕆, 8])

So the series 𝕍=(Subscript[𝕏, 1]).(Subscript[𝕏, 2]).(Subscript[𝕏, 3]) of 𝕏-measurements is quite compatable with the 𝔸-measurements contempolated previously.

The hidden variable hypothesis asserts that the product of the results obtained by such a series of 𝕏-measurements is (by previous argument)

(Subscript[m, 1x])(Subscript[m, 2x])(Subscript[m, 3x])=+1  (hidden variable hypothesis)

Quantum mechanics asserts, on the other hand, that

𝕍.Ψ==-Ψ

i.e., that the product of the 𝕏-meter readings is

(Subscript[m, 1x])(Subscript[m, 2x])(Subscript[m, 3x])=-1  (quantum theory)

The hidden variable hypothesis does not lead to a logical contradiction, as sometimes claimed, but would be in contradiction of the facts if by quantum measurement it could be established that

|⟨Ψ|𝕍|Ψ⟩((|)^2)=-1

Algebraic origins of a couple of key facts

1. Why 𝕍 commutes with the 𝔸 matrices:

𝕍.(Subscript[𝔸, 1])==((Subscript[σ, 1])⊗((Subscript[σ, 1])⊗(Subscript[σ, 1]))).(((Subscript[σ, 1])⊗((Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 2]))))

((Subscript[σ, 1])⊗((Subscript[σ, 1])⊗(Subscript[σ, 1]))).(((Subscript[σ, 1])⊗((Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 2]))))==(Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 1])⊗((Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2]))

(Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 1])⊗((Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2]))==(Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 1])⊗((-(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 1]))⊗(-(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 1])))

(Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 1])⊗((-(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 1]))⊗(-(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 1])))==(((Subscript[σ, 1])⊗((Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 2])))).((Subscript[σ, 1])⊗((Subscript[σ, 1])⊗(Subscript[σ, 1])))

The key observation is that Pauli anticommutivity

AntiComm[(Subscript[σ, 1]),(Subscript[σ, 2])]==(({{0, 0}, {0, 0}}))

enters twice.

2. Why the minus sign in 𝕍.Ψ == -Ψ:

We proceed from

(Subscript[𝔸, 1]).(Subscript[𝔸, 2]).(Subscript[𝔸, 3]).Ψ==Ψ

(Subscript[𝔸, 1]).(Subscript[𝔸, 2]).(Subscript[𝔸, 3])==((Subscript[σ, 1])⊗((Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 2]))).((Subscript[σ, 2])⊗((Subscript[σ, 1])⊗(Subscript[σ, 2]))).((Subscript[σ, 2])⊗((Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 1])))

((Subscript[σ, 1])⊗((Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 2]))).((Subscript[σ, 2])⊗((Subscript[σ, 1])⊗(Subscript[σ, 2]))).((Subscript[σ, 2])⊗((Subscript[σ, 2])⊗(Subscript[σ, 1])))==((Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 2]))⊗(((Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2]))⊗((Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 1])))

((Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 2]))⊗(((Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2]))⊗((Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 1])))==((Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 0]))⊗((-(Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 0]))⊗((Subscript[σ, 0]).(Subscript[σ, 1])))

((Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 0]))⊗((-(Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 0]))⊗((Subscript[σ, 0]).(Subscript[σ, 1])))==-𝕍

We used

(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 2])==(Subscript[σ, 0])

and this time only a single instance of (Subscript[σ, 1]).(Subscript[σ, 2])==-(Subscript[σ, 2]).(Subscript[σ, 2]).

Alternatively, instead of working to establish that 𝕍 = -(Subscript[𝔸, 1]).(Subscript[𝔸, 2]).(Subscript[𝔸, 3]), we can work from 𝕍 = (Subscript[𝕏, 1]).(Subscript[𝕏, 2]).(Subscript[𝕏, 3]). Here are the possible results of such a series of measurements:

(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕏, 2up]).(Subscript[𝕏, 3up]).Ψ
(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕏, 2up]).(Subscript[𝕏, 3dn]).Ψ
(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕏, 2dn]).(Subscript[𝕏, 3up]).Ψ
(Subscript[𝕏, 1up]).(Subscript[𝕏, 2dn]).(Subscript[𝕏, 3dn]).Ψ
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕏, 2up]).(Subscript[𝕏, 3up]).Ψ
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕏, 2up]).(Subscript[𝕏, 3dn]).Ψ
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕏, 2dn]).(Subscript[𝕏, 3up]).Ψ
(Subscript[𝕏, 1dn]).(Subscript[𝕏, 2dn]).(Subscript[𝕏, 3dn]).Ψ

We observe that in all possible cases the number of dns is odd. Any one of those experiments would be sufficient to demonstrate the untenability of the hidden variable hypothesis, and, by so doing, to establish once again the nonlocality of quantum mechanics.